レンタルサーバーにNode.jsプログラミング言語・環境をマニュアルでインストールします。
私の環境ではエックスサーバーを使用します。レンタルサーバーによってLinuxディストリビューションやメジャーバージョンが異なる場合がありますが、その場合異なる動作となる場合がある点ご留意ください。

Installation · nodejs/help Wiki

(公式のインストールマニュアルのコードがわかりにくすぎる。)

apt-getやsudo権限をしようしなくてもインストールできる方法でインストールします。
以下コピペでおｋ。

wget https://nodejs.org/dist/v8.11.4/node-v8.11.4-linux-x64.tar.xz # 最新ver => DL: [Download | Node.js](https://nodejs.org/en/download/)
VERSION=v8.11.4  # DLしたnodeバイナリファイルのバージョンに置き換える
DISTRO=linux-x64 # DLしたnodeバイナリファイルのバージョンに置き換える

mkdir /home/$(echo $USER)/usr/local/bin/nodejs
tar -xJvf node-$VERSION-$DISTRO.tar.xz -C /home/$(echo $USER)/usr/local/bin/nodejs
mv /home/$(echo $USER)/usr/local/bin/nodejs/node-$VERSION-$DISTRO /home/$(echo $USER)/usr/local/bin/nodejs/node-$VERSION

export NODEJS_HOME=/home/$(echo $USER)/usr/local/bin/nodejs/node-$VERSION/bin # ~/.bashrc にコピーしておく
export PATH=$NODEJS_HOME:$PATH # ~/.bashrc にコピーしておく

node -v